Notele și gamele muzicale

Revin cu publicarea unor lucrări de pe recent dispărutul meu site personal
  http://mihvoi.intelsoft.ro/

Astăzi o cercetare asupra gamelor și notelor muzicale, bazată pe matematică: ce anume face anumite note să nu sune bine într-o anumită gamă muzicală. Conține informații din cartea citată și câteva interpretări personale. Ortografia originală:

Notele muzicale

-          bazat pe “Acustica si Muzica” de Dem. (Demetriu) Urma –

Alfabetul muzicii

Odata aparuta manifestarea muzicala, s-a pus problema notarii/scrierii acelei muzici. Intuitiv au fost determinate intervale muzicale care “suna bine urechii” si care sunt folosite spontan in muzica.

            O nota muzicala este determinata in primul rand calitativ de frecventa sunetului. Frecventele sunetelor plus durata lor relativa identifica clar o melodie. Variatii care nu o fac de ne-recunoscut apar in functie de timbrul notelor. Timbrul depinde de taria armonicelor, ca multiplii ai sunetului original care apar natural la majoritatea instrumentelor. Timbrul mai depinde si atacul si stingerea notei, ceea ce se intampla inainte si dupa perioda stabila a sunetului. Atacul si stingerea dau individualitate unui instrument.

            Mai exista determinarea cantitativa - taria (amplitudinea sunetului) care nu modifica aproape deloc perceptia muzicii intre limitele de receptie ale urechii.

            O melodie suna aproximativ la fel daca se modifica proportional durata notelor. Daca de exemplu fiecare nota dureaza 0.7 din durata originala va rezulta aceeasi melodie, poate mai “rapida”. Sensul melodic nu se schimba nici daca se multiplica toate notele cu acelasi factor, astfel incat raportul intervalelor sa ramana egale. De exemplu daca banda casetofonului se roteste mai rapid, sunetele vor fi mai inalte dar vom reconoaste in continuare melodia.

            Rezulta importanta fundamentala pe care o are raportul frecventelor notelor fata de diferenta aritmetica a frecventelor: daca se scad 100Hz din fiecare nota, melodia nu mai este probabil recognoscibila.

Intervale

Sunetul care are frecventa dubla fata de “do de jos” este prima armonica a lui, si este “Do de sus”. Dubland frecventa se obtine limita de sus a urmatoarei octave (un alt Do). Cantate impreuna par a realiza un singur sunet do cu prima armonica ceva mai puternica. Cantale separat ele suna asemanator. Acest interval este intervalul de octava si este cel mai consonant (cea mai mare inrudire). Notele cu intervalele foarte disonante suna fals si pot fi suparatoare urechii in mod natural. Muzica se bazeaza deci in principal pe intervalele apropiate de consonanta.

            Exista cateva rapoarte fundamentale in muzica, care au un sens pentru ureche. In general aceste rapoarte sunt bazate pe fractii intregi cu numitor/numarator mici: 2/1 , 3/2, 4/3, 5/4, 5/3, 6/5,...pana la 9/8 si mai mult. Fundamental la aceste rapoarte este faptul ca ele creeaza relatii intre note, fac ca notele sa fie armonice ale unei aceleiasi note.

            De exemplu do₅, mi₅, sol₅ (din acordul Do major, octava 5) sunt multiplii ai lui do3 (cu doua octave mai jos).

do₅=4*do₃

re₅=5*do₃

mi₅=6*do₃

Asta face ca rapoartele dintre note sa fie 5/4, 6/5, 6/4=3/2. Aceste note suna bine impreuna, formand nucleul gamei Do major.

Dar ce este de fapt o gama ?

Am spus ca sunetul cu frecventa dubla fata de o nota este octava acelei note (ex. “Do de sus” fata de “do de jos”). Se pune problema identificarii notelor care au sens muzical intre aceste doua limite. Apoi aceleasi note vor fi reproduse pe intervalalele similare de mai sus si mai jos. Considerand ca urchea percepe sunete aproximativ intre frecvenetele de 16Hz si 16000Hz, rezulta aproximativ 9-10 intervale de octava. Dupa fiecare octava frecventa se dubleaza, dupa 10 intervale va creste de 2^10=1024 ori, depasind putin 16000Hz. In practica se folosesc 9 octave, de la 16Hz la 8192Hz.

            Doar urechi exceptionale pot identifica translatarea tuturor notelor cu un semiton. Pe de alta parte, variatii de 3% in anumite intervale se face simtita. Rezulta ca nu localizarea notelor exact pe frecventa, ci mai degraba raporturile dintre ele.

            Astfel, se poate alege arbitrar o nota de referinta (exemplu diapazonul, nota La₅=440Hz). In functie de ea se vor aseza celelate note astfel incat sa sune bine fata de ea si sa acopere maximul de expresivitate muzicala. Excluderea celorlalte frecvente dintre ele nu micsoreaza capacitatea de expresie muzicala.

Gama de 7 note:

            Actualmente gama este impartita in 12 intervale (numite “semitonuri”). Intervalale sunt marginite/separate de notele in ordine: do, do#, re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, si, do. Intre fiecare doua note exista un astfel de interval de un semiton. Alegand insa o nota de referinta (ex.: do) si o nota in interiorul cvintei (do-sol) care in cazul do major este mi, doar inca 4 note din interiorul gamei suna unitar cu acestea (7 in total).

Aceste note sunt notare traditional pentru gama Do major cu binecunoscutele do,re,mi,fa,sol, la, si, do. Uneori sunt notate cu A=la, B=H=si, C=do, D=re, E=mi, F=fa, G=sol. Celelalte note (notate cu #/diez) sunt note crescute cu un semiton. Ele se afla intre  notele din Do major, si suna perfect legal in alt sistem de referinta dar de obicei sunt intrusi dupa ce s-a cantat o vreme doar cu note din Do major (sunt din “alt film”).

In acest context intervalele de doua semitonuri (ex: do-re) se numesc “tonuri”, formate din doua semitonuri. Daca se canta in alta gama, unele note din Do major devin intrusi, iar unii diezi devin actori principali. Aceasta este armonia clasica; muzica “moderna” incearca sa folosesca toate cele 12 intervale, rezultand insa o muzica mai putin naturala si mai abstracta.

            Intervalele intre notele din gama sunt:

Gama Do major:

do re mi fa sol la si do

 \ /\ / \/ \/ \/ \/  \/

  2  2  1  2  2  2   1

Gama Do minor va fi atunci:

do re re#  fa sol sol# la# Do

 \ /\ /  \/  \/ \ /  \ / \ /

  2  1    2  2   1    2   2

Asemanarea se vede mai bine pornind de la nota la si mergand pe succesiunea intervalelor minore:

Gama La minor:

la si  do re mi fa sol La       

 \ / \/ \/  \/ \/ \ / \/

  2  1   2   2  1  2  2

Se observa ca in La minor sunt aceleasi note ca in Do major, dar de aceasta data relatia dintre note este alta.

            In gamele netemperate sunetele din La minor sunt un pic diferite, dar sonoritatea se pastreaza folosind aceleasi note aproximative (gama temperata). Sunt aceleasi note, dar semnificatia lor este alta, iar combinatiile lor uzuale intr-o melodie in La minor sunt altele decat intr-o melodie in Do major.

            La pian, notele din Do major sunt cele albe, iar cele cu diez/# sunt cele negre si mai mici. Notele negre insa sunt la fel de importante in melodii care iau ca baza alt acord fundamental (exemplu acordul minor bazat pe la:do:mi).

            Din ratiuni de teorie muzicala se foloseste alaturi de ridicarea cu un semiton si coborarea cu un semitor (bemol). Practic la pian do-diez = re-bemol, dar in unele game “netemperate” pot exista chiar 2 diezi si 2 bemoli, rezultand 4 sunete intermediare cu dieferite relatii cu notele din do major. Vom vedea mai jos cum apar aceste note, pe care gama temperata (a pianului) le elimina prin aproximari suficient de bune.

Gama lui Pitagora

            Gama lui Pitagora (cea mai veche) contine aproximativ aceleasi sapte note cu ale pianului, probabil cu aceleasi functii muzicale, dar cu valori usor diferite in rapoarte. El pleaca de la cvinte ascendente si descendente. Astfel gama armonica a lui Pitagora porneste de la cvintele:

Fa₄ = 2/3 * Do₅

Do₅ = Do₅

Sol₅ = 3/2 * Do₅

Re₆ = 3/2 * Do₅ * 3/2=9/8 * Do₅

La₆=9/8 * Do₅ * 3/2 = 27/16 * Do₅

Mi₇=27/8 * Do₅ * 3/2 = 81/16 * Do₅

Si₇=81/16 * Do₅* 3/2 = 243/32

Apoi notele se transpun in aceeasi octava (cu *2 sau :2) rezultand:

Gama Pitagorica:

Do = 1* Do

Re = 9/8 * Do

Mi = 4/3 * Do

Fa = 81/64 * Do

Sol = 3/2 * Do

La = 27/16 * Do

Si = 243/128 * Do

Do = 2 * Do

Asta probabil pentru ca pe timpul lui Pitagora nu existau solutii pentru a se evalua alte intervale decat cvarta (sol:do = 3/2) si octava (Do:do = 2/1). Aceasta gama are probleme in special cu sunetul Si = 243/128 * Do = 1.8984 * Do care este putin neplacut. Sunetul Si din gama natura este  15/8 * Do = 1.875 care suna mai bine. In plus, mentinand acelasi intervale peste mai multe octave rezulta alte note decat cele rezultate prin pornirea de la inceputul fiecarei octave. Rezulta mai multi diezi si bemoli.

Definirea gamei naturale:

            Se observa ca anumite intervale din gama lui Pitagora suna mai bine inlocuite cu rapoarte de numere mai mici. Apare si ideea ca sunetele suna consonant daca au armonice comune de ordin cat mai mic.

Gama naturala porneste de la armonicele unei fundamentale (ex: do) cu doua octave mai jos, care genereaza acordul major do:mi:sol. Desi afirmația nu are suport în fizică, gama minora se poate obtine la fel considerand ca exista subarmonice ale unui Do cu doua octave mai sus (do/2, do/3, do/4, etc).

            Sa presupunem pentru simplificare ca alegem nota “do” ca referinta. Intervalul urmator cel mai consonant este 3/2 (sol) care se numeste cvinta perfecta. Cvinta este un termen un pic impropriu, semnificand faptul ca pornind numaratoare de la do exista 5 note din gama Do major (do, re, mi, fa, sol). Cvinta perfecta este mai clar 7 semitonuri.  Este singurul pe care urechea il apreciaza foarte exact si este placut, unitar. De exemplu soneriile si clacsoanele bitonale se acordeaza la cvinte (3/2 raport de frecvente)

In gama Do major, do se numeste tonica.

Nota pereche in raport de 3/2 este sol si se numeste “dominanta”. Sonoritatea gamei este data de alegerea unei note intre ele (“medianta”). Intre Do si Sol sunt 7 semitonuri, intervalul complementar pana la “Do de sus” avand 5 semitonuri. Deoarece sunt doar 4 note in gama Do major (sol, la, si, do) se numeste “cvarta” (4/3) si are la fel un rol importand ca diferenta intre octava(12 semitonuri) si cvinta perfectă(7 semitonuri).

Alegand “mediana”  mi ca a 5-a armonica a lui do de doua octave mai jos, care este la interval de terta mare (5/4) fata de do/tonica se formeaza gama majora, in general cu sunet energic, solemn.

Nota: Terta mica este complementul tertei mari fata in cvinta (do-mi fata de mi-sol in interiorul intervalului do-sol).

Daca in loc de re am alege re# ( terta mica fata de do, terta mare de la sol in jos), s-ar forma gama “do minor”, cu sunet considerat mai melancolic. Intervalul de terta mare va fi realizat acum fata de sol, cu care re# are raport de 5/4, dar in jos. Mediana re# are 6/5 din do.

Vorbim momentan insa doar de acordul major.

La distanta de o cvinta fata de mi apare sensibila (si). Cvinta este foarte importanta dupa cum spuneam. Si va fi intr-un raport cu do de: 5/4 * 3/2 = 15/8 in acest caz.

            Scazand o cvinta din “Do de sus” se obtine fa, numita “subdominanta” lui Do major. Raportul cu do va fi 2:3/2 = 4/3

            Nota “la” se formeaza la o cvarta perfecta fata de mi (5 semitonuri) si se numeste “supradominanta”. Frecventa fata de do va fi: 5/4 * 4/3=5/3

            Nota “re” apare ca cvarta inferioara a lui “sol”: 3/2 : 4/3 = 3/2 * 3/4 = 9/8

            Astfel toate notele din gama Do major se formeaza in mod “natural”.

Do         Re         Mi           Fa         Sol         La              Si       Dotonica, subtonica, medianta, subdominanta, dominanta, supradominanta, sensibila, cvarta

            In acest caz intervalul de un TON este diferenta intre cvinta si cvarta care se calculeaza prin impartirea rapoartelor 3/2 : 4/3=9/8.

            Semitonul mi-fa rezulta ca este 4/3 : 5/4 = 4/3 * 4/5 = 16/15 (secunda mica).

            Semitonul si-do va fi 2 : 15/8 = 16/15.

            Intervalul mi-sol va fi 3/2:5/4 = 3/2 * 4/5=6/5 numita terta mica

           

Deci:

Do = 1 * Do (prima)

Re = 9/8 * Do (secunda)

Mi = 5/4 * Do (terta mare)

Fa =  4/3 * Do (cvarta)

Sol = 3/2 * Do (cvinta)

La = 5/3 * Do (sexta mare)

Si = 15/8 * Do (~ septima)

DO = 2 * Do (cvarta)

Aceleasi valori se obtin prin medii armonice: dintre note sau lungimi de coarda: m=2ab/(a+b).

a=Do=1

b=do=1/2

m = 2 * 1 * (1/2) / (1 + 1/2) = 1 / 3/2 = 2/3 = sol

a=do=1

b=sol=2/3

m= 2*1*2/3 / (1+2/3) = 4/3 / 5/3 = 4/3 * 3/5 = 4/5  = mi = terta mare

media armonica intre do si mi este 9/8 care este re

media armonica intre mi si octava lui mi este 8/15, adica si

Pentru celelalte note insa trebuiesc facute artificii, deci nu este o regula de generare a gamei.

Gama temperata:

Problema cu gama naturala si cea a lui Pitagora apare in momentul cand se incearca generarea altor game (majore si minore), plecand de la alta nota. Desi melodia seamana, expresivitatea cere uneori ca tonica sa fie alta nota decat do. In plus, scrierea armonica a muzicii (prin acorduri de sunete simultane care trebuie sa sune bine impreuna) face sa apare multe probleme in combinarea a astfel de sunete.

Folosind aceleasi dezvoltari, notele noi generate nu se suprapun peste notele gasite anterior. Apar note suplimentare, de exemplu fa#, re#, sol#, fa#. Pe de alta parte, variind gama, apar si alte note, diferite - desi apropiate. Se ajunge la cel putin 4 sunete intermediare diferite semnificativ pentru fiecare nota curenta a pianului. Doar sarind din cvinta in cvinta pornind de la do, nu se mai ajunge la alt Do de mai sus. Plecand de la Do2, dupa 12 cvinte (3/2) se ajunge la un si8# Pitagoric - ceva mai inalt decat do9.

Asta genereaza probleme la construirea intrumentelor cu sunet fix (pianul) care ar trebui sa aibe cate o clapa pentru fiecare astfel de sunet. Inconvenientele la acordare, scriere si interpretare sunt mari. De aceea a aparut ideea de a simplifica gama astfel incat sa ramana posibile exprimarea tuturor intervalelor din game, dar eventual inperceptibil alterate.

Solutia a fost impartirea gamei in 12 intervale egale. Egalitatea nu este in dieferenta ci in raport. Astfel, raportul notelor trebuie astfel ales incat pornind de la do, dupa 12 intervale sa se ajunga la nota Do de sus. Acest interval este radical de ordinul 12 din 2, care are valoarea aproximativa de 1.05946.

Rezulta 12 note care sunt foarte apropiate de cele din gama naturala si Pitagorica (de obicei intre ele). Se obtine:

- periodicitatea gamei (se repeta intervalale in fiecare octava, 12 cvinte fac exact 7 octave). Notele se pot pune intr-un cerc periodic, incepand cu do si inceind cu Do de sus care se suprapune peste do de jos.

- 3 terte mari fac o octava: 4*3semit = 12

- 4 terte mici fac o octava: 3*4semit= 12

- cvinta + cvarta fac o octava: 7+5=12

- terta mica + sexta mare: 3+9=12

- terta mare + sexta mica: 4+8=12

Intervalele in ordinea consonantei cf. Helmholtz (numarand frecventa de aparitie in seria armonica) sunt:

2/1 octava – 12 semitonuri

3/1 duodecima perfecta ~ 18 semitonuri

3/2 cvinta perfecta ~ 7 semitonuri

4/3 cvarta perfecta ~ 5 semitonuri

5/4 terta mare ~ 4 semitonuri

5/3 sexta mare ~ 9 semitonuri

6/5 terta mica ~ 3 semitonuri

8/5 sexta mica ~ 8 semitonuri

9/5 si 16/9 septima mica ~ 10 semitonuri

9/8 so 10/9 secunda mare  ~ 2 semitonuri

15/8 septima mare ~ 11 semitonuri

16/15 secunda mica ~ 1 semiton

Consideratii:

- o melodie se termina de multe ori cu cvinta tonicii si tonica (sol, do in Do major)

- uzula intr-o intrebare se creste tonul cu o cvinta (3/2) iar in raspuns se scade tonul cu o cvarta (4/3)

- muzica chinezeaza foloseste doar 5 note: fa sol la do re

- instrumetele de suflat pot produce doar cu modificari de presiune armonice naturale ale unui sunet fundamental dat de lungimea tubului. Pentru alte sunete se variaza lungimea tubului prin culisa, butoane, gauri. Sunetele temperate nu suna bine cu sunetele gamei naturale emise spontan de tub, deci cand se acompaniaza cu pian trabuie modificate usor modificand lungimea tubului pentru a suna consonant cu pianul

- la instrumente de coare se poate canta in gama naturala si suna putin mai bine, dar nu se pot combina cu instrumente temperate (pian)

- vocalele sunt combinatii de sunete periodice (note) dar consoanele sunt sunete neperiodice, asemanatoare zgomotelor.

Edit 2020 Gama temperată versus intervalele întregi

Am descoperit un fișier în care am aproximat rapoartelor de frecvențe ale gamei temperate cu rapoarte de numere întregi relativ mici (gen sub 50).

În prima coloană am căutat raportul întreg care este cel mai apropiat de valoare din gama temperată - bazată pe radicalul de ordinul doisprezece din 2.

În a doua coloană am căutat raportul cu numerele cele mai mici care nu depășește intervalul minim pe care îl percepe urechea umană (Coma).

Se observă că intervalele de note mai consonante au rapoarte de numere mai mici. Posibil coma să fie totuși prea mare: fa# ar avea un interval de 7/5 cu eroare mai mică de o coma, însă raportul cu eroare mai mică are coeficienți destul de mari.

M-aș aștepta ca notele la, si să aibă rapoarte de numere mai mici decât fa# (mai dis-armonică față de do). În gama naturală ele au 5/3 respectiv 15/8. E posibil ca de fapt pianele să nu fie acordate exact pe gama temperată, ci prin intervale de cvinte și octave să ajungă mai aproape de rapoartele din gama naturală.

Coma:1.014545
  do ( 0)  do * 1.00000 =~  1/ 1 (+/- 0.000000) coma_ok:  1/ 1 (+/- 0.000000)
 do# ( 1)  do * 1.05946 =~ 18/17 (+/- 0.000640) coma_ok: 15/14 (+/- 0.011965)
  re ( 2)  do * 1.12246 =~ 37/33 (+/- 0.001250) coma_ok:  9/ 8 (+/- 0.002538)
 re# ( 3)  do * 1.18921 =~ 25/21 (+/- 0.001269) coma_ok:  6/ 5 (+/- 0.010793)
  mi ( 4)  do * 1.25992 =~ 34/27 (+/- 0.000662) coma_ok:  5/ 4 (+/- 0.009921)
  fa ( 5)  do * 1.33484 =~  4/ 3 (+/- 0.001506) coma_ok:  4/ 3 (+/- 0.001506)
 fa# ( 6)  do * 1.41421 =~ 24/17 (+/- 0.002449) coma_ok:  7/ 5 (+/- 0.014214)
 sol ( 7)  do * 1.49831 =~  3/ 2 (+/- 0.001693) coma_ok:  3/ 2 (+/- 0.001693)
sol# ( 8)  do * 1.58740 =~ 27/17 (+/- 0.000834) coma_ok:  8/ 5 (+/- 0.012599)
  la ( 9)  do * 1.68179 =~ 37/22 (+/- 0.000025) coma_ok: 22/13 (+/- 0.010515)
 la# (10)  do * 1.78180 =~ 25/14 (+/- 0.003917) coma_ok: 16/ 9 (+/- 0.004020)
  si (11)  do * 1.88775 =~ 17/ 9 (+/- 0.001140) coma_ok: 15/ 8 (+/- 0.012749)
  DO (12)  do * 2.00000 =~  2/ 1 (+/- 0.000000) coma_ok:  2/ 1 (+/- 0.000000)

Concluzii:

Muzica porneste de la intervale in diverse grade de consonanta pe care urechea le percepe exacte si frumoase. Cu aceste limitari se defineste o gama aproximativa (temperata) in care intervalele muzicale sa se poata executa suficient de apropiat de ideal pornind de la orice nota, chiar peste octave. Gama cu 12 semitonuri este suficient de deasa incat sa se poata acoperii toate intervalele expresive, cu pierderi minime prin aproximare.

Bach a sustinut gama temperata, aratand ca se poate canta usor in toate modurile cunoscute, compunand lucrarea “Clavecinul bine temperat (Das Wohltemperierte Klavier)”.

Mihai Voicu (ian 2007)

Update 2020: more on music theory

P.S Articole și mai interesante scrise de mine în engleză:

See also: Philosophy of All (meaningofstuff.blogspot.com)